CONJUNTOS:

Conjunto.

Los diversos polígonos en la imagenconstituyen un conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección de estos últimos —los polígonos regulares en la imagen— es otro conjunto, en particular, un subconjunto del primero.

En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.¹ Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Notación

Relación de pertenencia. El conjunto

A

es un conjunto de polígonos. En la imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.

Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntos

A

D

se usa unadefinición intensiva o por comprensión, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos

B

C

se usa una definición extensiva, listando todos sus elementos explícitamente.

Es habitual usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que:

B = {verde, blanco, rojo}

C = {a, e, i, o, u}

Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante una propiedad:

A = {Números naturales menores que 5}

D = {Palos de la baraja francesa}

Otra notación habitual para denotar por comprensión es:

A = {m : m es un número natural, y 1 \leq m \leq 5}

D = {p : p es un palo de la baraja francesa}

F = {n 2 : n es un entero y 1 \leq n \leq 10}

En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto

F

es el conjunto de «los números de la forma

n 2

tal que

n

es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números naturales. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical(«|») u oblicua «/» .

Igualdad de conjuntos

Conjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en la imagen,

A

, tiene 8miembros. Este conjunto puede representarse mediante llaves o mediante un diagrama de Venn. El orden de las personas en

A

es irrelevante.

Un conjunto está totalmente determinado por sus elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se establece como:

Propiedad de la extensionalidad

Dos conjuntos $A$ y $B$ que tengan los mismos elementos son el mismo conjunto, $A = B$ .

Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, en particular extensivas o intensivas. Por ejemplo, el conjunto

A

de los números naturales menores que 5 es el mismo conjunto que

A'

, el conjunto de los números 1, 2, 3 y 4. También:

B = {verde, blanco, rojo} = {colores de la bandera de México}

C = {a, e, i, o, u} = {vocales del español}

D = {Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}

El orden en el que se precisan los elementos tampoco se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos:

B = {verde, blanco, rojo} = {rojo, verde, blanco}

C = {a, e, i, o, u} = {e, i, u, a, o}

Además, un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, por ejemplo:

{1, 2} = {1, 2, 1}

En ausencia de alguna característica adicional que distinga los «1» repetidos, lo único que puede decirse del conjunto de la derecha es que «1» es uno de sus elementos.

Conjunto vacío

El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por

\emptyset

o simplemente {}. Existe un único conjunto vacío, ya que lo único que distingue a un conjunto son sus elementos.

Subconjuntos

Subconjunto.

B

es un subconjunto de

A

(en particular un subconjunto propio).

Un subconjunto

A

de un conjunto

B

, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de

B

(o quizá todos):

Un conjunto $A$ es un subconjunto del conjunto $B$ si cada elemento de $A$ es a su vez un elemento de $B$ .

Cuando

A

es un subconjunto de

B

, se denota como

A \subseteq B

y se dice que «

A

está contenido en

B

». También puede escribirse

B \supseteq A

, y decirse que

B

es un superconjunto de

A

y también «

B

contiene a

A

» o «

B

incluye a

A

».

Todo conjunto

A

es un subconjunto de sí mismo, ya que siempre se cumple que «cada elemento de

A

es a su vez un elemento de

A

». Es habitual establecer una distinción más fina mediante el concepto de subconjunto propio:

A

es un subconjunto propio de

B

si es un subconjunto de

B

pero no es igual a

B

. Se denota como

A ⊊ B

, es decir:

A \subseteq B

pero

A \neq B

(y equivalentemente, para un superconjunto propio,

B ⊋ A

).^{n 2}

Ejemplos.

El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».

{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4

}

{1, 2, 3, 4} \subseteq {1, 2, 3, 4

}

Conjuntos disjuntos

Dos conjuntos

A

B

son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo, los conjuntos de los números racionales y los números irracionales son disjuntos: no hay ningún número que sea a la vez racional e irracional. La intersección de dos conjuntos disjuntos es el conjunto vacío.

Cardinalidad

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito se pueden contar los elementos del conjunto:

El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal.

El cardinal se denota por

| A |

card(A)

#A

. Así, en los ejemplos anteriores, se tiene que

| A | = 4

(cuatro números),

| B | = 3

(tres colores) y

| F | = 10

(diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío

\emptyset

En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales:

N = {1, 2, 3, ...}

. Sin embargo, existe una manera de comparar conjuntos infinitos entre sí, y se obtiene que existen conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número transfinito.

Operaciones con conjuntos

Unión

Intersección

Diferencia

Complemento

Diferencia simétrica

Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos:

Unión: (símbolo $\cup$ ) La unión de dos conjuntos $A$ y $B$ , que se representa como $A \cup B$ , es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos $A$ y $B$ .
Intersección: (símbolo $\cap$ ) La intersección de dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto $A \cap B$ de los elementos comunes a A y B.
Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjunto $A$ con $B$ es el conjunto $A \ B$ que resulta de eliminar de $A$ cualquier elemento que esté en $B$ .
Complemento: El complemento de un conjunto $A$ es el conjunto $A ∁$ que contiene todos los elementos que no pertenecen a $A$ , respecto a un conjunto $U$ que lo contiene.
Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto $A Δ B$ con todos los elementos que pertenecen, o bien a $A$ , o bien a $B$ , pero no a ambos a la vez.
Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto $A \times B$ de todos los pares ordenados $(a, b)$ formados con un primer elemento $a$ perteneciente a $A$ , y un segundo elemento $b$ perteneciente a $B$ .

Ejemplos

${1, a, 0} \cup {2, b} = {2, b, 1, a, 0}$
${5, z, ♠} \cap {♠, a} = {♠}$
${5, z, ♠} \ {♠, a} = {5, z}$
${♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}$
${1, a, 0} \times {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}$

El rincon de medicina

MATEMATICA